Operaは標準では日本語入力できないんですが、例外があるみたいです。
それは"Go To page [G]"を選んだ時に表示される"Search the web using:"。
ここは何故か日本語入力可能です。
ただ初期設定では選べるサイトがアメリカのサイト?になっているので
以下の設定ファイルを修正します。
/opt/QtPalmtop/opera/locale/english.lng
このファイルの7行目を
Language="ja"
にすることで日本のサイトでの検索ができるようになります。